El misterio del aliasing callejero

Una anécdota real

Una de las tareas principales de la ciencia consiste en obtener conclusiones a partir de observaciones. A primera vista esto parece sencillo, pero es un problema colosal y lleno de sutilezas. La siguiente anécdota ilustra bastante bien una de ellas:

En cierta ocasión, hace ya unos treinta días, una amiga mía estuvo trabajando en un pueblo de provincias. Todos los días, después del trabajo, salía a dar un paseo. Desde el primer día, notó que la gente con la que se cruzaba durante su paseo vespertino tenía un aspecto muy poco habitual… casi todos eran extraños y desaliñados, y se comportaban de forma poco habitual.

Al principio no dijo nada por educación, pero finalmente la curiosidad pudo con ella, y comentó sus observaciones con algunos compañeros de trabajo. A sus compañeros, muchos de los cuales también eran foráneos, les pareció extraño, pues ellos jamás habían notado nada raro en los habitantes del lugar.

Pasaron los días y mi amiga siguió observando, casi con incredulidad, lo peculiar que era la gente con la que se topaba en su paseo diario. Un día lo comentó con otra amiga, oriunda del pueblo, que enseguida supo resolver el misterio: el paseo de mi amiga era siempre a la misma hora, al salir del trabajo a las 19:00, y casualmente coincidía con el horario en el que los enfermos de un hospital psiquiátrico cercano tenían permitido salir a pasear, de 18:00 a 21:00,… y los pobres, como es lógico, tenían un aspecto y comportamiento muy fuera de lo común.

Sí… sé que no es el ejemplo más políticamente correcto, pero lo cierto es que es eso lo que sucedió. Y lo que es mejor, puede ayudarnos a aprender algo… sobre temas tan aparentemente alejados como el análisis de señales.

Las matemáticas tienen algo que decir
Ahora que sabemos cuál era la causa de aquel misterio, rápidamente descubrimos cuál es el punto clave del error: que los paseos se produjesen siempre a la misma hora. Parecía una cuestión poco importante, pero como hemos visto, resultó ser totalmente determinante. En ciencia esto se conoce como error de muestreo.

Como veremos a continuación, la idea, aparentemente buena, de muestrear a intervalos periódicos (“cada día a la misma hora”, “cada segundo”, “cada año”, …), puede llevarnos a error con mucha facilidad.

Para entenderlo mejor, vamos a profundizar un poco más:
En el siguiente gráfico se representa la variable “cantidad de gente estrafalaria” en función de la hora del día (una variable bastante estrafalaria, valga la redundancia), teniendo en cuenta que el horario de permiso en el hospital era de 18 a 21:

Naturalmente, a un día le sigue otro día, y así sucesivamente. Si representamos varios días seguidos obtenemos claramente una gráfica que se repite una y otra vez; esto se conoce como comportamiento periódico. Veamos tres días seguidos:

El paseo de mi amiga era todos los días a la misma hora (19:00). Si marcamos en rojo los “trozos” del gráfico que ella “veía”, que en lenguaje matemático se llaman puntos de muestreo, obtenemos lo siguiente:

De manera que al extrapolar los puntos de muestreo tenía la impresión errónea de que la cantidad de gente estrafalaria a lo largo de todo el día era la siguiente (marcada en rojo):

Un caso algo más serio

Algo totalmente análogo a lo que le sucedió a mi amiga se estudia ampliamente en el campo del análisis de señales. Se trata de un fenómeno llamado aliasing, relacionado con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon.

Pasemos ahora a un ejemplo algo más serio, que ilustra realmente el peligro de los muestreos mal realizados. Imaginemos que alguien nos envía, por ejemplo, una señal de radio de forma sinusoidal:

La mayoría de los receptores de radio muestrean las señales a intervalos regulares (cada 10 microsegundos, por poner un ejemplo). Intervalos regulares… pero hemos visto en el ejemplo de los paseos que eso tiene sus riesgos.

Un error de muestreo bastante grosero que podríamos cometer es tener la mala suerte, por así decirlo,  de muestrear solamente cuando la señal pasa por un cero… de manera que podríamos pensar que no hay señal en absoluto:

Otro error más sutil, y por ello más peligroso, es que la separación temporal de nuestros puntos de muestreo sea demasiado grande. Esto puede llevarnos, curiosamente, a pensar que la señal recibida es efectivamente sinusoidal, pero de una frecuencia menor que la real:

Dado que la frecuencia de una señal, ya sea de radio o de cualquier otra fuente, es probablemente la característica más importante de la misma, los problemas de muestreo pueden dar lugar a errores graves en telecomunicaciones, electrónica, procesado de imagen, etcétera.

Y así, las mismas matemáticas aparecen en dos situaciones tremendamente distintas. Inesperadamente, como suelen. Naukas